Подобие треугольников: стороны, площади и ловушки в пропорциях

В задачах на подобие треугольников основные потери возникают в двух местах: ученик неправильно сопоставляет стороны или применяет коэффициент подобия к площади так же, как к длине.

Чтобы решать уверенно, нужно сначала обосновать подобие, затем установить соответствие вершин и только после этого составлять пропорцию. Для площадей используется квадрат коэффициента, поэтому отношения сторон и площадей следует записывать отдельно.

Когда треугольники можно считать подобными

Внешнего сходства на рисунке недостаточно. Нужен один из признаков:

• равенство двух углов;
• пропорциональность двух сторон и равенство угла между ними;
• пропорциональность трёх сторон.

В школьных задачах особенно часто используется первый признак. Равные углы могут появиться благодаря параллельным прямым, общему углу или вертикальным углам.

Например, в треугольнике ABC точки D и E лежат на сторонах AB и AC, а DE параллельна BC. У треугольников ADE и ABC общий угол A, а ещё одна пара углов равна из-за параллельности прямых. Этого достаточно для подобия.

Связь равных углов и пропорциональных сторон подробно объясняется в разделе OpenStax о подобных треугольниках.

Как правильно сопоставить стороны

Запись △ADE ∼ △ABC уже содержит соответствие:

• A соответствует A;
• D соответствует B;
• E соответствует C.

Следовательно:

AD / AB = AE / AC = DE / BC.

Нельзя произвольно менять порядок только в одной дроби. Если первая дробь записана как «сторона малого треугольника к стороне большого», остальные должны сохранять то же направление.

Пусть AD = 4, AB = 10, BC = 15. Тогда:

DE / 15 = 4 / 10
DE = 6.

Полезная проверка: малый треугольник составляет 0,4 от большого по длинам. Значит, соответствующая сторона должна быть меньше 15. Ответ 37,5 сразу показал бы перевёрнутую пропорцию.

Общий порядок работы с соответствующими сторонами также приведён в учебнике OpenStax по приложениям пропорций.

Почему площадь меняется иначе

Если все линейные размеры увеличились в k раз, площадь увеличится в k² раз.

Это видно на прямоугольнике: при увеличении длины и ширины в три раза площадь станет больше в девять раз. Для подобных треугольников действует та же зависимость.

Поэтому при отношении соответствующих сторон 2 : 3 отношение площадей равно:

4 : 9.

Если площадь малого треугольника равна 20, а отношение его стороны к соответствующей стороне большого равно 2 : 3, то:

S малого / S большого = 4 / 9
20 / S большого = 4 / 9
S большого = 45.

Обратная задача требует извлечения квадратного корня. Если площади относятся как 25 : 36, соответствующие стороны относятся как 5 : 6.

Высоты, медианы и другие соответствующие линейные элементы подобных треугольников изменяются в k раз. Периметры — тоже. Площади — в k² раз.

Не путайте целую сторону и её часть

Вернёмся к примеру с DE, параллельной BC.

Если AD = 4, а DB = 6, полная сторона AB равна:

AB = AD + DB = 10.

В пропорцию для подобных треугольников входит отношение AD к AB, то есть 4 к 10. Отношение AD к DB равно 4 к 6, но оно описывает две части одной стороны и решает другую задачу.

Перед составлением дроби полезно подписать:

• маленькая сторона;
• соответствующая большая сторона;
• оставшийся отрезок.

Если рисунок перегружен, перерисуйте треугольники отдельно. Это особенно помогает, когда один из них повёрнут или расположен внутри другого.

Рабочие рисунки и короткие пометки рассмотрены в статье «Черновик на ЦЭ и ЦТ».

Тренировка, которая проверяет понимание

Возьмите одну задачу и измените вопрос, сохранив рисунок.

Сначала найдите неизвестную сторону. Затем — отношение периметров. После этого — отношение площадей. Наконец, задайте площадь одного треугольника и вычислите площадь другого.

Так становится видно, какие величины меняются линейно, а какие — квадратично.

Отдельно потренируйте восстановление целой стороны по двум частям. Эти вычисления простые, но именно здесь часто закладывается неверная пропорция.

После каждого решения запишите обоснование подобия одной строкой. Если оно отсутствует, работа пока опирается на внешний вид рисунка.

При разборе ошибки полезно определить её тип: не найден признак, перепутаны вершины, перевёрнута дробь, взята часть вместо целого или забыто возведение в квадрат. Подход к такому анализу есть в статье «Как анализировать ошибки после пробных тестов».

На пробном занятии в «Формуле ЦТ» можно обсудить трудности в геометрии и выбрать уровень заданий для самостоятельной работы.

Вывод:

Задача на подобие начинается с признака и соответствия вершин. После этого стороны сопоставляются в одном направлении, а отношение площадей записывается отдельно через квадрат коэффициента. Проверка целых отрезков и частей помогает избежать неправильной пропорции ещё до вычислений.

Мы также есть в инстаграм!

  ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ: